Hydratool.ru

Журнал "ГидраТул"
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Законы Кирхгофа и их использование. Расчеты

Законы Кирхгофа и их использование. Расчеты

Для правильно формулировки законов Кирхгофа в электротехнику ввели термины узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют абсолютно любой двухполюсник, имеющейся в цепь, например, на рисунке ниже участок схемы, с сопротивление R1, есть ветвь, также как и R2, но только другая ветвь. Узлом стали называть точку соединения трех и более ветвей. Контур замкнутая электрическая цепь состоящая из ветвей. Термин замкнутая электрическая цепь, говорит о том, что начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно оказаться в исходном узле. Ветви и узлы, попадающие в этот цикл, принято считать принадлежащими данному контуру. При этом требуется четко понимать, что ветвь и узел могут относиться одновременно к нескольким контурам.

Первый закон Кирхгофа

В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источников и приемников энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или , между напряжением и сопротивлением на каком-то отдельном участке цепи описываются законом Ома. Но очень часто в схемах, токи, от какой-либо точки, идут по совершенно разным путям. Точки, где сходятся несколько различных проводников, напомню, называются узлами, а участки цепи, соединяющие два соседних узла, ветвями.

В замкнутой цепи не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызывает изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды следующие к какому-либо узлу в единицу времени, всегда равны зарядам, уходящим от этого узла за ту же единицу времени

Разветвлённая цепь. В узле А цепь делиться на четыре ветви, которые соединяются в узле В Обозначим токи в неразветвленной части цепи — I, а в ветвях соответственно I1, I2, I3, I4.

У этих токов в соответствии с правилом последовательного соединения резисторов, будет следующее соотношение

На основании этого сформулируем первый закон Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи, всегда равна сумме токов, уходящих из этого узла.

В соответствии с законом Ома если приложить к такой цепи напряжение, то падение напряжения на обоих сопротивлениях будет также разным.

При параллельном соединении резисторов, смотри рисунок, ток проходит по четырем направлениям, что снижает общее сопротивление цепи или увеличивает общую проводимость, которая определяется как сумма проводимостей ветвей.

Используя закон Ома, напишем:

Используя первый закон Кирхгофа:

Сократим обе части получившегося выражения на напряжение U получим следующее математическое выражение:

Что и требовалось доказать (Ч.Т.Д). Получили соотношение для любого числа параллельно соединенных резисторов.

В случае, если в произвольной цепи имеются два параллельно соединенных сопротивления R1 и R2, то можно написать выражение:

Из этой формулы легко вычислить общее сопротивление всей схемы.

Эта выведенная формула имеет большое практическое использование, как в электротехники, так и электроники. Советую вам, запомнить это выражение на всю жизнь.

В качестве практического примера, рассмотрим расчет более сложной цепи имеющей большое количество узлов

Второй закон Кирхгофа определения и формулы

В замкнутом контуре абсолютно любой электрической цепи сумма всех эдс источников питания равна сумме падения напряжения на всех сопротивлениях этого контура.

Здесь полная ЭДС Е1 + Е2, действующая внутри контура, равна сумме падений напряжения на резисторах R1 и R2

Если изменить полярность Е2 на обратную, то она будет иметь то же направление , что и падения напряжения UR1 и UR2

Таким образом, если в электрической цепи имеются два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников

Если в электрическую цепь включено два источника эдс противоположных направлений, то общая эдс цепи равна разности эдс этих отдельных источников

При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением, общая эдс равна сумме эдс всех отдельных источников. Складывая эдс одного направления, считают их со знаком плюс, а эдс противоположного направления — со знаком минус.

Рассмотрим чуть более сложную схему, имеющую несколько контуров

Для контура ABEF можно записать выражение

для контура ACDF формулу можно записать так

Обходя контур BCDE, видим, что Е2 имеет направление (против часовой стрелки), что и UR3:

Как мы видим в цепи с одним контуром, второй з-н Кирхгофа является частным случаем закона Ома.

Обучающий видеофильм для закрепления полученных знаний по теме Законы Кирхгофа

За неизвестные в этом способе берутся потенциалы узлов φ k. Если мы определим потенциалы всех узлов цепи, то затем сможем легко вычислить ток в любой ветви между узлами «k» и «n» из обобщенного закона Ома:

Читайте так же:
Выплавка чугуна и стали

Пусть некоторая цепь состоит из N узлов. Один узел заземлим, разместив потенциал φ=0. Поэтому, неизвестными в этом способе остаются (N-1) величин φk. Значит, метод узловых потенциалов подводит лишь к (N-1) математическим уравнениям, т. е. к первому закону Кирхгофа.

Рассмотрим практическую работу этого способа на примере схемы, изображенной на рисунке ниже. Эта мостовая схема состоящая из четырех узлов и трех независимых контуров. Прямое использование выше рассмотренных привело бы к 3+3=6 уравнениям относительно неизвестных токов в ветвях цепи. Метод узловых потенциалов сводит это все всего к трем математическим уравнениям.

Заземлим, допустим, узел φ, положив φ = 0, и вычислим потенциалы узлов φ1, φ2 и φ3. Расставим произвольно стрелки токов ik в ветвях (k= 1, 2, …,6) и запишем получившиеся уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:

Теперь выразим эти токи из формулы (1) с учетом правила знаков:

Подставив найденные отсюда токи i1, i2,…, i6 в (2), увидим систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов φ1, φ2 и φ3:

Вычислив из этой системы потенциалы узлов φ1, φ2 и φ3 и подставив их в систему (3), рассчитаем все токи i1, i2, …, i6 с их знаками относительно выбранных на схеме выше.

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

  • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
  • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
  • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Схема параллельного соединения проводников

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

  • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
  • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
  • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
  • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
  • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
  • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
  • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
  • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.
Читайте так же:
Как сделать комнатную антенну для цифрового телевидения

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

  • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
  • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
  • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
  • ГА: φГ – I4r4 = φА.
  • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
  • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
  • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений — Формула второго закона Кирхгофа в комплексной форме уравнение для постоянных напряженийУравнение для переменных напряжени — Формула второго закона Кирхгофа в комплексной форме уравнение для переменных напряжений

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

2 закон Кирхгофа для электрической цепи e_1-e_2+e_3=I_1 R_1-I_2 R_2+I_3 R_3-I_4 R_4.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

  • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
  • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
  • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

пример применения второго правила Кирхгофа

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

    Дано:
  • R1
  • R2
  • R3
  • E1
  • E2
  • I1 – ?
  • I2 – ?
  • I3 – ?
  • Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда:
  • Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи.
  • Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же.
  • Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+».
  • Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения:
  • Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Законы Кирхгофа

Зако́ны Кирхго́фа (или правила Кирхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного и квазистационарного тока. [1] Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач теории электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи. Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.

Читайте так же:
Как устроен выключатель с подсветкой

Содержание

Формулировка

Для формулировки законов Кирхгофа, в электрической цепи выделяются узлы — точки соединения трёх и более проводников и контуры — замкнутые пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.

В этом случае законы формулируются следующим образом.

Первый закон

Первый закон Кирхгофа (Закон токов Кирхгофа, ЗТК) гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком):

sumlimits^n_<j=1 data-lazy-src=

Например, для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым законом выполняются следующие соотношения:

begin<cases data-lazy-src=

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Законы Кирхгофа» в других словарях:

ЗАКОНЫ КИРХГОФА — ЗАКОНЫ КИРХГОФА, два правила, основанные на законах сохранения заряда и энергии, которые применимы к цепям электрического тока. По сути, они гласят что (1) ни в какой точке сети не может происходить ни накопления, ни убыли электрического заряда;… … Научно-технический энциклопедический словарь

законы Кирхгофа — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN laws of electric networksKirchhoffs laws … Справочник технического переводчика

КИРХГОФА ПРАВИЛА — устанавливают соотношения для токов и напряжений в разветвлённых электрич. цепях постоянного или квазистационарного тока. Сформулированы Г. Р. Кирхгофом в 1847. Первое К. п. вытекает из закона сохранения заряда и состоит в том, что алгебр. сумма… … Физическая энциклопедия

Кирхгофа правила — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона … Википедия

КИРХГОФА ЗАКОНЫ — основные законы электротехники. Первый К. з.: сумма токов, притекающих к данной точке цепи, равна сумме токов, вытекающих из этой точки. Второй К. з.: алгебраическая сумма электродвижущих сил в данной замкнутой цепи равна сумме падений напряжения … Технический железнодорожный словарь

КИРХГОФА ПРАВИЛА — Кирхгофа законы [по имени нем. физика Г. Р. Кирхгофа (G. R. Kirchhoff; 1824 87)], два осн. правила электрич. цепи пост. или квазистационарного тока. 1 е К. п. устанавливает, что алгебраич. сумма сил токов, сходящихся в любсй точке разветвления… … Большой энциклопедический политехнический словарь

КИРХГОФА ЗАКОН — (Kirchhoff) определяет связь между излучением нагретого абсолютно черного тела и тепловым излучением любого другого тела, находящегося при той же t°. Пусть излучательная способность черного тела равна St, излучательная способность другого… … Большая медицинская энциклопедия

законы сохранения — [laws of conservation] физические закономерности, согласно которым численные значения некоторых физичических величин не изменяются со временем в любых процессах или в определенном классе процессов. Важнейшими, справедливыми для любых… … Энциклопедический словарь по металлургии

Правила Кирхгофа —     Классическая электродинамика … Википедия

Закон излучения Кирхгофа — У этого термина существуют и другие значения, см. Закон Кирхгофа. Закон излучения Кирхгофа  физический закон, установленный немецким физиком Кирхгофом в 1859 году. В современной формулировке закон звучит следующим образом: Отношение… … Википедия

Вопрос №2. Первый и второй законы Кирхгофа. Баланс мощностей. Метод узловых и контурных уравнений (20 мин.)

В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношение между током, ЭДС и сопротивлением во всей цепи или на каком-либо ее участке определяется законом Ома. Однако на практике преимущественно встречаются такие цепи, в которых токи могут идти по разным путям, т.е. в которых есть узлы (узловые точки), где сходятся несколько проводников. Сложные электрические цепи содержат два и более источников питания. Для расчета параметров таких цепей применяются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла (рис. 10), или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

где n – число токов, втекающих в узел и вытекающих из узла.

Со знаком «плюс» записываются токи, втекающие в узел, со знаком «минус» записываются токи, вытекающие из узла.

Физический смысл первого закона Кирхгофа: в узле схемы не происходит накапливания электрических зарядов, т.е. количество зарядов, притекающих к узлу в единицу времени, равно количеству зарядов, утекающих от узла.

Рассмотрим следующий пример. На рис. 11 приведен участок разветвленной цепи. Какое соотношение будет между токами, изображенными на рисунке?

Второй закон Кирхгофа: во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма всех ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях, включенных последовательно в эту цепь.

где m – число активных элементов или источников ЭДС, n – число пассивных элементов.

Для составления уравнения второго закона Кирхгофа произвольно задается направление обхода контура. Со знаком «плюс» записываются ЭДС и токи, направление которых совпадает с обходом контура, со знаком «минус» записываются ЭДС и токи, направление которых не совпадает с обходом контура.

Читайте так же:
Как работает ручная ленточная пила

При составлении уравнений выбирают произвольно направление обхода цепи против или по часовой стрелке.

Если направления токов в ветвях неизвестны, то при составлении уравнений законов Кирхгофа их необходимо предварительно выбрать произвольно и обозначить на схеме стрелками. В действительности направления токов в ветвях могут и не совпасть с произвольно выбранными. Поэтому выбранные направления токов называют положительными направлениями.

На рис. 12 приведен пример участка замкнутой электрической цепи с несколькими источниками ЭДС. Какое соотношение будет между ЭДС и падениями напряжения на сопротивлениях контура данной электрической цепи?

Рис. 12. Иллюстрация второго закона Кирхгофа

Как уже говорилось выше, законы Кирхгофа позволяют произвести расчет цепи любой сложности. Алгоритм расчета электрических цепей на основе законов Кирхгофа или методом узловых и контурных уравнений содержит следующие этапы:

произвольно задать направление токов в ветвях (токи помечаются стрелками на схеме);

составить n уравнений второго закона Кирхгофа по числу элементарных, т.е. независимых контуров схемы (контуров, которые не входят в другие контуры);

составить (m−1) уравнений первого закона Кирхгофа, где m – число узлов в схеме;

полученную систему уравнений первого и второго законов Кирхгофа решить относительно токов известными математическими методами.

Если в результате решения системы некоторые токи получатся со знаком минус, это означает, что в действительности токи текут в направлениях, обратных указанным на схеме первоначально.

На рис. 13 приведена схема сложной электрической цепи. Необходимо составить необходимое и достаточное число уравнений законов Кирхгофа для данной электрической цепи.

Согласно алгоритму расчета цепи методом узловых и контурных уравнений решение данной задачи будет содержать следующие этпаы:

1) Обозначим контуры и узлы заданной электрической цепи (рис. 14). Для обозначения узлов и контуров целесообразно использовать буквы.

Данная цепь всего содержит 6 контуров: 3 неэлементарных − gefhg, gbdhg, aefce, и 3 элементарных − gachg, abdca, bеfdb. Цепь содержит 4 узла — a, b, c и d.

Произвольно укажем направление обхода элементарных или независимых контуров: например, в контуре gachg против часовой стрелки, а в контурах abdca и bеfdb – по часовой стрелке.

2) Произвольно зададим направление токов в ветвях схемы (рис. 15).

3) Составим уравнения первого закона Кирхгофа. Так как в схеме 4 узла, следовательно, необходимо и достаточно составить уравнения для любых трех узлов, например, для узлов а, b и с:

для узла а:

для узла b:

для узла с:

4) Для 3 независимых контуров составляем уравнения второго закона Кирхгофа:

для контура gachg: ;

для контура abdca: ;

для контура bеfdb:

Таким образом, система уравнений, составленная методом узловых и контурных уравнений, выглядит следующим образом:

;

;

Рассмотрим следующие примеры. Определите сколько узловых и контурных уравнений необходимо составить для определения неизвестных токов в этой схеме?

При расчете сложных цепей приходится проделывать большую вычислительную работу. Правильность окончательного расчета осуществляют с помощью составления баланса мощностей.

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, отдаваемая источниками питания, должна равняться мощности, потребляемой сопротивлениями ветвей или приемниками электроэнергии. Таким образом, алгебраическая сумма мощностей источников питания равна арифметической сумме мощностей приемников:

где m – число источников энергии, n – число сопротивлений в цепи.

Если направления ЭДС и тока в ветви совпадают по результатам окончательного расчета, то источник отдает мощность в сеть и в уравнении баланса мощностей перед произведением EkIk ставится знак «плюс». Если ЭДС и ток в ветви направлены встречно, источник потребляет мощность (например, аккумуляторная батарея при зарядке) и произведение EkIk входит в левую часть уравнения со знаком «минус».

В правой части уравнения произведения Ik 2 Rk всегда положительны.

Для схемы сложной электрической цепи, приведенной на рис. 15, необходимо составить баланс мощностей, при условии сохранения по результатам окончательного расчета указанных на схеме направлений токов в ветвях. Каким будет уравнение баланса мощностей?

Законы Кирхгофа положены в основу практически всех методов расчета электрических цепей постоянного тока: метода наложения, метода контурных токов, метода узлового напряжения.

Вывод по второму вопросу: первый и второй законы Кирхгофа положены в основу практические всех методов расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Для проверки правильности расчетов сложных электрических цепей постоянного тока используется баланс мощностей.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector