Формула периода колебаний пружинного маятника

Формула периода колебаний пружинного маятника

Период — это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.

Обозначают период буквой $T$.

где $Delta t$ — время колебаний; $N$ — число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.

Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:

Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:

Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:

Второй закон Ньютона для груза принимает вид:

Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:

Если ввести обозначение: $^2_0=frac$, то уравнение колебаний запишем как:

где $^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Выше мы получали для пружинного маятника $_0=sqrt>$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с . Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?

Решение. Так как период — это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:

Частота — величина обратная периоду, следовательно:

Вычислим частоту колебаний:

Ответ. $1) T=0,2$ с; 2) 5Гц

Задание.Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:

Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Период колебаний нитяного и пружинного маятников

Назад Вперёд

Цель урока: рассмотреть процесс колебаний на примере нитяного и пружинного маятников, выяснить зависимость периода колебаний от различных физический величин: длины нити, ускорения свободного падения, коэффициента жесткости и массы.

1. Проверка домашнего задания. (работа по формуле “Скажи ты. )

— Что называется амплитудой колебания; периодом колебания; частотой колебания; циклической частотой?

— Какой буквой обозначается циклическая частота?

— Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебания?

Учащиеся в парах проверяют домашнюю работу: упражнение №24.

2. Объяснение нового материала. Работа по теме урока.

Учитель. Как вы думаете, от каких величин может завесить период колебаний нитяного маятника?

Ученики. От длины нити и массы груза.

Учитель. Начнем с длины нити. Поставим опыт с двумя маятниками, имеющими разную длину нити, но одинаковую массу (эксперимент).

Ученики. С увеличением длины нити период колебаний увеличивается.

Учитель. А теперь посмотрим как зависит период колебаний от массы груза (эксперимент: маятники имеют одинаковую длину нити и разный вес грузов).

Учащиеся. Период не зависит от массы груза.

Учитель. Но период колебания нитяного маятника зависит еще от одной физической величины. Это ускорение свободного падения. Проведем эксперимент и “поможем “ силе тяжести положив магнит. Теперь при той же массе груза возвращающая сила будет больше.

Ученики. Период уменьшился, а частота увеличилась.

Учитель. А теперь выведем формулу для расчета периода колебания нитяного маятника.

g – ускорение свободного падения.

Это очень важная формула и ее надо запомнить.

Учитель. От чего может зависеть период пружинного маятника?

Ученики. От жесткости пружины, массы груза.

Учитель. Сначала на опыте посмотрим зависимость периода колебаний и жесткости пружины.(эксперимент : две пружины разной жесткости, но одинаковой длины и одинаковой массой груза)

Ученики. Период меньше там, где жесткость больше.

Учитель. А как вы думаете как зависит период от массы груза(эксперимент).

Ученики. Чем больше масса , тем больше и период.

Учитель. А теперь выведем формулу для расчета периода колебания пружинного маятника.

— возвращающая сила системы

— собственная частота системы.

Эту формулу так же запишите на обложку тетради и постарайтесь ее запомнить.

3. Закрепление материала

Решение задач Лукашик В.И.№ 873, 876.879

4.Домашнее задание. Лукашик В.И.№ 875, 877.880.

Список литературы:

1.Л.Э.Генденштейн,В.А.Орлов,Г.Г.Никифоров “Как научить решать задачи по физике (основная школа ). Подготовка к ГИА.

Колебания математического и пружинного маятника. Период колебания математического и пружинного маятника.

развить способности ориентироваться в основных понятия физики.

Тип урока: комбинированный.

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ПРУЖИННОГО МАЯТНИКОВ. Устройства, в которых могут осуществляться колебательные процессы, называются колебательными системами. Рассмотрим колебания простейшей из таких систем — математического маятника. Математическим маятником называют тяжелый шарик малого размера, подвешенный на длинной, невесомой, нерастяжимой нити.

Математический маятник обладает всеми признаками коле­бательной системы. Если его отклонить от положения равновесия, то он будет возвращаться в него под действием равнодействующей силы. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы:

Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит, от массы груза.

Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем

же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, коле­бания достаточно близки по своей форме к гармоническим. Период математического маятника не зависит от амплитуды, колебаний.

Независимость периода колебаний груза на нити и груза на пружине от амплитуды колебаний открыл в 1583 г. выдающийся итальянский физик и астроном Галилео Галилей. Это открытие является одним из первых замечательных законов механических колебаний. Согласно легенде, Галилей сделал это открытие в соборе, наблюдая колебания люстры. В качестве часов он использовал собственный пульс. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали, т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. Доказав на опыте, что период колебаний маятника не зависит от его амплитуды, Галилей предложил использовать маятники для измерения времени, т. е. в часах. Спустя более 70 лет, в 1656 г., X. Гюйгенс осуществил эту идею и сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятников получило название изохронность (от греч. изос — "равный, постоянный", хронос — "время").

3. Если повторим опыт, меняя длину маятника, то убедимся в том, что период колебаний зависит от длины маятника. Итак, чем длиннее маятник, тем больше период колебаний. И наоборот, чем короче маятник, тем меньше период колебаний.

Выведем формулу для периода колебаний математического маятника. При колебании маятника груз движется ускоренно по дуге АВ под действием возвращающей, т. е. равнодействующей, си­лы F . Величина этой силы меняется при движении. Расчет движения тела под действием такой непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом. Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружно­сти (рис. 85).

Период обращения маятника равен периоду его колебаний:

Т_об=Т_к =Т.

Период обращения конического маятника равен длине описы­ваемой грузом окружности, деленной на скорость:T=2πR/v

Если угол отклонения от вертикали невелик (малые ампли­туды), то можно считать, что равнодействующая сила направлена по радиусу окружности ВС. В этом случае она равна центро­стремительной силе: F=mv 2 /R

Подставив эти значения в выражение периода Т, находим: T=2π√l/g

Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период колебания маятника не зависит от его массы и амплитуды (при условии, что она достаточно мала), а зависит только от длины маятника / и ускорения свободного падения g. Зависимость периода колебаний маятника от ускорения свободного падения используется на практике для точных измерений ускорения свободного падения в разных точках поверхности Земли. Так как основной деталью таких приборов является маятник, то их называют маятниковыми приборами. Для измерения ускорения свободного падения в нужном месте на поверхности Земли устанавливают маятниковый прибор и измеряют период Т колебаний маятника. По найденному значению периода и известной длине / маятника вычисляется ускорение свободного падения в данном месте. По результатам измерений ускорения свободного падения можно обнаружить районы залегания полезных ископаемых. В тех местах, где имеются полезные ископаемые, плотность вещества которых выше, чем средняя плотность земной коры (например, залежи железной руды), g имеет повышенное значение. Скопления нефти и газа под землей связаны с пористыми породами пониженной плотности, поэтому над нефтяными и газовыми месторождениями g имеет пониженное значение. Другими словами, мы получили путем расчетов основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений. Рассмотрим теперь колебания груза, подвешенного на пружине. Такую простейшую колебательную систему называют пружинным маятником. Если пружина сжата или растянута на длину I, то возникает сила F, возвращающая тело в положение равновесия. Если величина растяжения х = 1-1 мала, то эта сила пропорциональна растяжению пружины, т. е. по закону Гука

F= —kx.

Используя второй закон Ньютона, уравнение движения тела можно записать в следующем виде: та =-kx, отсюда а =-kx/m . Чем больше величина смещения х, тем больше ускорение, т. е. максимальному смещению соответствует максимальное ускорение. Если частота v гармонических колебаний показывает число колебаний в 1 с, то цикли­ческая частота со равна числу колебаний маят­ника за 2 πс, т. е.

ω= 2 πv = 2π/T.

Тогда ma=-mω 2 x . Сравнивая это выражение с уравнением движения, получим: — тω г х =-kx, отсюда ω=√k/m. Если учесть, что ω=2π/T, то период колебания пружинного маятника будет равен:T=2π√m/k. Полученный результат показывает, что период колебаний, возникающих под действием силы упругости, не зависит от амплитуды. Таким образом, период колебаний пружинного маятника зависит только от массы груза и жесткости пружины.

1. Что называют периодом колебаний маятника?
2. Что называют частотой колебаний маятника? Какова единица частоты колебаний?
3. От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?
4. От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника?
5. Какие колебания называют собственными?
Задание 23
1. Каков период колебаний маятника, если 20 полных колебаний он совершает за 15 с?
2. Чему равна частота колебаний, если период колебаний равен 0,25 с?
3. Какой должна быть длина маятника в маятниковых часах, чтобы период его колебаний был равен 1 с? Считать g = 10 м/с2; p2 = 10.
4. Чему равен период колебаний маятника, длина нити которого равна 28 см, на Луне? Ускорение свободного падения на Луне 1,75 м/с2.
5. Определите период и частоту колебаний пружинного маятника, если жесткость его пружины равна 100 Н/м, а масса груза 1 кг.
6. Во сколько раз изменится частота колебаний автомобиля на рессорах, если в него положить груз, масса которого равна массе ненагруженного автомобиля?

Виртуальная лаборатория ВиртуЛаб

Многие явления и опыты провести в условиях учебного заведения очень сложно или невыполнимо.

Период колебаний математического и пружинного маятников

1. Вспомним, что называется частотой и периодом колебаний.

Время, за которое маятник совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Период обозначают буквой T и измеряют в секундах (с).

Число полных колебаний за одну секунду, называют частотой колебаний. Частоту обозначают буквой n.

Единица частоты колебаний в Ш — герц (1 Гц).

1 Гц — это частота таких колебаний, при которых за 1 с совершается одно полное колебание.

Частота колебаний и период связаны соотношением:

2. Период колебаний рассмотренных нами колебательных систем — математического и пружинного маятников — зависит от характеристик этих систем.

Выясним, от чего зависит период колебаний математического маятника. Для этого проделаем опыт. Будем менять длину нити математического маятника и измерять время нескольких полных колебаний, например 10. В каждом случае определим период колебаний маятника, разделив измеренное время на 10. Опыт показывает, что чем больше длина нити, тем больше период колебаний.

Теперь поместим под маятником магнит, увеличивая тем самым силу тяжести, действующую на маятник, и измерим период его колебаний. Заметим, что период колебаний уменьшится. Следовательно, период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения: чем оно больше, тем меньше период колебаний.

Формула периода колебаний математического маятника имеет вид:

T = 2p,

где l — длина нити маятника, g — ускорение свободного падения.

3. Определим экспериментально, от чего зависит период колебаний пружинного маятника.

Будем подвешивать к одной и той же пружине грузы разной массы и измерять период колебаний. Заметим, что чем больше масса груза, тем больше период колебаний.

Затем будем к пружинам разной жесткости подвешивать один и тот же груз. Опыт показывает, что чем больше жесткость пружины, тем меньше период колебаний маятника.

Формула периода колебаний пружинного маятника имеет вид:

T = 2p,

где m — масса груза, k — жесткость пружины.

4. В формулы периода колебаний маятников входят величины, характеризующие сами маятники. Эти величины называют параметрами колебательных систем.

Если в процессе колебаний параметры колебательной системы не меняются, то период (частота) колебаний остается неизменным. Однако в реальных колебательных системах действуют силы трения, поэтому период реальных свободных колебаний с течением времени уменьшается.

Если же предположить, что трение отсутствует и система совершает свободные колебания, то период колебаний меняться не будет.

Свободные колебания, которые могла бы совершать система в отсутствие трения, называют собственными колебаниями.

Частота таких колебаний называется собственной частотой. Она зависит от параметров колебательной системы.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют периодом колебаний маятника?

2. Что называют частотой колебаний маятника? Какова единица частоты колебаний?

3. От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?

4. От каких величин и как зависит период колебаний пружинного маятника?

5. Какие колебания называют собственными?

1. Каков период колебаний маятника, если 20 полных колебаний он совершает за 15 с?

2. Чему равна частота колебаний, если период колебаний равен 0,25 с?

3. Какой должна быть длина маятника в маятниковых часах, чтобы период его колебаний был равен 1 с? Считать g = 10 м/с 2 ; p 2 = 10.

4. Чему равен период колебаний маятника, длина нити которого равна 28 см, на Луне? Ускорение свободного падения на Луне 1,75 м/с 2 .

5. Определите период и частоту колебаний пружинного маятника, если жесткость его пружины равна 100 Н/м, а масса груза 1 кг.

6. Во сколько раз изменится частота колебаний автомобиля на рессорах, если в него положить груз, масса которого равна массе ненагруженного автомобиля?

Лабораторная работа № 2

Изучение колебаний
математического и пружинного маятников

исследовать, от каких величин зависит, а от каких не зависит период колебаний математического и пружинного маятников.

Приборы и материалы:

штатив, 3 груза разной массы (шарик, груз массой 100 г, гирька), нить длиной 60 см, 2 пружины разной жесткости, линейка, секундомер, полосовой магнит.

Порядок выполнения работы

1. Изготовьте математический маятник. Наблюдайте его колебания.

2. Исследуйте зависимость периода колебаний математического маятника от длины нити. Для этого определите время 20 полных колебаний маятников длиной 25 и 49 см. Вычислите период колебаний в каждом случае. Результаты измерений и вычислений с учетом погрешности измерений занесите в таблицу 10. Сделайте вывод.