Определение модуля упругости методом изгиба Цель работы:
Приборы и принадлежности:
Элементы теории и метод эксперимента
В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.
Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.
Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».
Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где
A – площадь поперечного сечения стержня.
Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня
При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L +∆ L , где ∆ L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H –∆ H и B –∆ B , где ∆ H и ∆ B – это абсолютные поперечные деформации стержня.
Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:
Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:
Здесь знак «+» у деформации
Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению
Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).
Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы
Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).
Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона
Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.
После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F , которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ . Выделим элемент объема балки длиной Dz , находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.
Рис. 2. Изгиб консольной балки
Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны
Известно [2], что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:
Где IX – осевой момент инерции Ox . Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.
На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A . Выделим на ней элементарную площадь DA .
Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY , проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.
Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy , площадь которых
Рассмотрим балку длиной L , установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.
Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения [2] примет вид:
Поэтому модуль Юнга определяется формулой
С учетом выражения (10) получим
Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H , по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.
Описание экспериментальной установки
Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.
Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.
Порядок выполнения работы
1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.
2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.
3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.
4. Прикрепить на скобу груз массой M 1
5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1
7. Повесить на скобу груз массой M 2
8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2
9. Рассчитать нагрузку F по формуле
Где G – ускорение свободного падения.
10. Значение прогиба пластины определить как
11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L =0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B =0,012 м – ширина сечения пластины; H =0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.
12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.
13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.
Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.
Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными [3, 4].
Порядок оценки погрешностей
Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).
Записать результаты прямых измерений указанных параметров:
А) L =< L > ± DL , Где DL = DL Сист ;
Б) d=< D> ± Dd, Где , .
Записать результаты косвенных измерений:
Е=<Е> ± DЕ, Где
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?
2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?
3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?
4. Как определяется коэффициент Пуассона?
5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?
6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy ?
Методика определения модуля упругости грунтов с применением малогабаритных установок динамического нагружения В статье представлена методика контроля качества устройства слоев основания дорожной одежды с покрытием из искусственных камней мощения, научно- теоретические предпосылки, определяющие ключевые параметры, подлежащие контролю в процессе строительства, а также последовательность выполнения промежуточного контроля на объекте с помощью измерителя модуля упругости ПДУ-МГ4 «Удар». Приведены результаты натурных исследований. За основной критерий оценки пригодности к эксплуатации слоев основания принято обеспечение требуемой величины упругого прогиба конструкции.
Эффективность Искусственные камни мощения являются эффективным решением при благоустройстве территорий для движения пешеходов и легкого транспорта, а также для обеспечения эксплуатационной надежности конструкций покрытий под повышенные нагрузки. Существуют технологии использования мощения в различных конструкциях дорожных одежд, в том числе аэродромных покрытий, а также в покрытиях набережных, портовых терминалов, железнодорожных платформ. Искусственные камни положительно зарекомендовали себя в качестве материала, обеспечивающего высокие технологические и эксплуатационные показатели, в сравнении с другими типами покрытий.
В Российской Федерации для оценки качества уплотнения конструктивных слоев основания и подстилающего слоя применяется метод сравнения плотности выемки грунта с плотностью того же грунта, полученной в лабораторном приборе стандартного уплотнения «СоюздорНИИ». Результатом сравнения является коэффициент уплотнения Ky . Данный метод оценки качества уплотнения будет определен минимум через сутки, когда изменить плотность грунта бывает сложно или уже невозможно. К тому же в некоторых случаях, например, для крупнообломочных грунтов и щебеночных слоев оснований, коэффициент уплотнения лабораторным способом определить либо не представляется возможным, либо может вызывать большие затруднения.
Следует отметить, что коэффициент уплотнения или плотность грунта не позволяют оценивать долговечность дорожного полотна. Гораздо важнее контролировать в процессе строительства прочностные и деформационные свойства конструктивных слоев дорожных одежд, поскольку именно они согласно ОДН 218.046-01, используются при проектировании. Поэтому более корректно осуществлять контроль путем сопоставления прочностных и деформационных характеристик, измеренных фактически на строительном объекте, с проектными.
В качестве альтернативного варианта — качество устройства, конструктивных слоев дорожной одежды можно контролировать по модулю упругости конструктивных слоев основания и грунтов земляного полотна. Модуль упругости, установленный штамповыми испытаниями, должен соответствовать расчетному значению, принятому при проектировании дорожной одежды. В свою очередь, применяемая, для этой цели, методика выполнения традиционных штамповых испытаний отличается сложностью и трудоемкостью, что связано с монтажом тяжелого оборудования, специальной подготовкой грунтов к испытаниям, затратами времени на изучение характера осадки, что не всегда приемлемо при сжатых сроках выполнения строительных работ. Поэтому в подобных случаях допускается применение динамических штамповых испытаний, которые позволяют значительно быстрее оценить модуль упругости контролируемой группы слоев. Но, к сожалению, на сегодняшний день для малогабаритных установок динамического нагружения отсутствует методика оперативного контроля качества устройства слоев основания дорожной одежды, путем сопоставления проектного и измеренного модулей упругости. Здесь следует отметить, что методика должна иметь непосредственную связь с проектом в части контролируемых величин. Только в этом случае запроектированные решения могут быть максимально полно реализованы в процессе строительства.
Актуальность Покрытие из искусственных камней мощения является промежуточным между жесткими и нежесткими одеждами. В отечественной практике для проектирования подобных дорожных одежд используется РМД 32-18-2012, где содержатся рекомендации по применению мощения на территориях жилой и общественно-деловой застройки. Причем расчеты принято выполнять как для нежестких дорожных одежд по ОДН-218.046-01, в соответствии с которым одним из основных при проектировании дорожных одежд, является расчет по критерию упругого прогиба. Данный расчет является первоочередным при назначении характеристик слоев основания и подстилающего грунта. В нем в качестве основных входных параметров используются несколько величин:
модули упругости слоев основания дорожной одежды и подстилающего грунта; толщины конструктивных слоев; диаметр отпечатка колеса (штампа). Если нахождение последних двух исходных величин не вызывает трудностей, то контролирование на строительном участке первой характеристики является наиболее актуальной задачей, решение которой выглядит немного сложнее.
Актуальность задачи обусловливается необходимостью контроля достигнутого в процессе строительства (в результате уплотнения или применения различных химических добавок) модуля упругости слоев путем сопоставления их с проектными значениями. Существенные расхождения в значениях могут приводить к различного рода деформациям, снижению долговечности покрытия, а также увеличению расходов на текущее содержание.
При строительстве сложность определения текущего (фактического) модуля упругости слоев основания и грунтов земляного полотна заключается в выделении модуля конкретного слоя из общего модуля упругости контролируемой конструкции. Последнее обусловлено спецификой работы малогабаритных установок динамического нагружения (рис. 1), а именно тем, что плита, через которую выполняется передача давления, располагается на поверхности некоторой группы слоев основания.
Поэтому измеренный модуль будет эквивалентным для этой группы слоев, а при проектировании, в соответствии с расчетной методикой ОДН 218.046-01, определяется эквивалентный модуль упругости всей конструкции (рис. 2).
Таким образом, общая задача проверки качества устройства слоев основания дорожной одежды с покрытием из камней мощения сводится к сопоставлению полученных в процессе контроля общих модулей для каждой группы слоев с проектными величинами. Аля этой цели необходимо, используя проектные значения модулей упругости слоев, определить теоретические величины эквивалентных модулей для контролируемых групп слоев.
Для определения теоретического общего модуля для двухслойной конструкции необходимо воспользоваться формулой (1).
где i — номер рассматриваемого слоя дорожной одежды, считая сверху вниз (i = 1, 2, 3); hi — толщина i-го слоя, м; общ — общий модуль упругости полупространства, подстилающего i-й слой, МПа; i — модуль упругости материала i-го слоя, МПа.
Определение модуля упругости и коэффициента Пуассона В методических указаниях к лабораторной работе N 3 "Определение модуля упругости и коэффициента Пуассона" указывается цель работы, приводится характеристика испытуемого образца и даётся методика проведения испытаний.
Для лучшего усвоения материала по темам: "Растяжение и сжатие" и "Упруго – механические свойства материалов" приводятся основные теоретические положения, позволяющие квалифицированно провести испытания, экспериментально определить по одному испытанию образца величины упругих постоянных (Е и μ) и проанализировать полученные результаты.
Завершаются методические указания перечнем возможных вопросов при защите отчета по этой лабораторной работе.
Определить опытным путем величину модуля упругости Ε и коэффициент Пуассона μ и сравнить полученные результаты со справочными данными.
3. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ
Испытательная машина – МР-0,5. Тензометрическая станция – ЦТМ-5. Штангенциркуль.
4. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ
Вид образца, имеющего прямоугольное поперечное сечение, представлен на рис.1. На больших сторонах поперечного сечения образца наклеены по одному тензодатчику в продольном направлении и по одному в поперечном. Каждый тензодатчик подключен к отдельному каналу тензометрической станции ЦТМ-5.
Рис. 1. Вид обра о тензо датчиками
5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При деформациях подавляющего большинства материалов в упругой стадии справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:
Величина Ε представляет собой коэффициент пропорциональности и называется модулем упругости первого рода. Так как относительное удлинение – величина безразмерная, модуль упругости Ε имеет размерность напряжения. Закон Гука справедлив при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности апц.
На диаграмме растяжения (сжатия) (рис.2) модуль упругости Ε представлен тангенсом угла наклона прямой О А к оси (tg α).
Рис.2. Диаграмма растяжения ( сжатия ) образца из малоуглеродистой стали:
растяжения, сжатия При растяжении стержня, его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным сужением в поперечном направлении, что показано на рис.3.
Рис.3. Изменение формы образца при испытаниях на растяжение
Продольную деформацию принято обозначать: абсолютную – Δi (Δ^ = i- l),
относительную -ε (ε = Δ -£ / ^). Поперечную деформацию обозначим:
абсолютную – ДЬ (Ab = bi – b),
где μ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона, величина которого зависит только от материала и характеризует его свойства. Знак " – " указывает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Коэффициент Пуассона принято считать положительной величиной, поэтому относительные линейные деформации берутся по абсолютной величине (μ= ε11 /1 ε |).
6. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ
1. Перед испытанием студентам необходимо ознакомиться с устройством машины МР-0,5 ( первое занятие ) и правилами поведения в лаборатории при проведении испытаний (вводный инструктаж ).
2. Измеряют штангенциркулем характерные линейные размеры испытуемого образца.
3. Убеждаются в подключении тензодатчиков к тензометрической станции ЦТМ-5.
4. Наблюдают за включением машины, процессом нагружения образца начальной нагрузкой (0 – 100 Η ), которая задается преподавателем.
5. Путем последовательного переключения соответствующих каналов тензометрической станции снимают показания каждого из тензометров. Эти данные заносятся в журнал наблюдений. В отчете по лабораторной работе в разделе "Результаты испытаний" предварительно готовится таблица..
6. Наблюдают за последующими двумя ступенями нагружения (100 – 200 Η каждая по указанию преподавателя ) образца, снимают показания тензодатчиков и заносят их в таблицу.
7. В процессе проведения испытаний внимательно следят за комментариями преподавателя и при завершении испытаний по его указанию приступают к обработке результатов испытания.
7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЯ
В журнале наблюдений ( табл. ) подсчитываются приращения соответствующих отсчетов и определяются их средние значения (АсрР, АсрАь АсрА2, ДсрВь АсрВ2). Затем подсчитываются средние приращения по тензометрам в продольном (АсрА) и поперечном (АсрВ) направлениях.
По найденным АсрА и АсрВ находятся значения относительной линейной деформации соответственно в продольном и поперечном направлениях:
где с – коэффициент чувствительности тензодатчика, который определяется тарировкой и сообщается преподавателем.
Определяются значение нормального напряжеия, средин для каждой ступени нагружения образца:
σ = АсрР / F, где F – площадь поперечного сечения образца ( F = b · d).
Исходя из закона Гука при растяжении – сжатии (σ= Ε-ε) находится модуль упругости материала образца:
По найденным значениям относительных деформаций в продольном и поперечном направлениях определяется величина коэффициента Пуассона:
Для любого материала величина коэффициента Пуассона должна находиться в пределах от 0 до 0,5.
Найденные значения модуля упругости Ε и коэффициента Пуассона μ следует сравнить с соответствующими величинами, приведенными в справочной литературе и сделать выводы.
Оценка статьи:
Загрузка...
Как найти модуль упругости Ссылка на основную публикацию wpDiscuz
Insert
Adblock 
