Hydratool.ru

Журнал "ГидраТул"
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как найти массу груза на пружине формула

Как найти массу груза на пружине формула

Формула жесткости пружины – едва ли не самый важный момент в теме об этих упругих элементах. Ведь именно жесткость играет очень важную роль в том, благодаря чему эти комплектующие используются так широко.

Сегодня без пружин не обходится практически ни одна отрасль промышленности, они используются в приборо- и станкостроении, сельском хозяйстве, производстве горно-шахтного и железнодорожного оборудования, энергетике, других отраслях. Они верой и правдой служат в самых ответственных и критических местах различных агрегатов, где требуются присущие им характеристики, в первую очередь жесткость пружины, формула которой в общем виде очень проста и знакома детям еще со школы.

Особенности работы

Любая пружина представляет собой упругое изделие, которое в процессе эксплуатации подвергается статическим, динамическим и циклическим нагрузкам. Основная особенность этой детали – она деформируется под приложенным извне усилием, а когда воздействие прекращается – восстанавливает свою первоначальную форму и геометрические размеры. В период деформации происходит накопление энергии, при восстановлении – ее передача.

Именно это свойство возвращаться к исходному виду и принесло широкое распространение этим деталям: они отличные амортизаторы, элементы клапанов, предупреждающие превышение давления, комплектующие для измерительных приборов. В этих и других ситуациях, благодаря умению упруго деформироваться, они выполняют важную работу, поэтому от них требуется высокое качество и надежность.

Виды пружин

Видов этих деталей существует много, самыми распространенными являются пружины растяжения и сжатия.

  • Первые из них без нагрузки имеют нулевой шаг, то есть виток соприкасается с витком. В процессе деформации они растягиваются, их длина увеличивается. Прекращение нагрузки сопровождается возвращением в первоначальную форму – опять витком к витку.
  • Вторые – наоборот, изначально навиваются с определенным шагом между витками, под нагрузкой сжимаются. Соприкосновение витков является естественным ограничителем для продолжения воздействия.

Изначально именно для пружины растяжения было найдено соотношение массы подвешенного на ней груза и изменения ее геометрического размера, которое и стало основой для формулы жесткости пружины через массу и длину.

Какие еще бывают виды пружин

Зависимость деформации от прилагаемой внешней силы справедлива и для других видов упругих деталей: кручения, изгиба, тарельчатых, других. Не важно, в какой плоскости к ним прилагаются усилия: в той, где расположена осевая линия, или перпендикулярной к ней, производимая деформация пропорциональна усилию, под воздействием которого она произошла.

Основные характеристики

Независимо от вида пружин, особенности их работы, связанные с постоянно деформацией, требуют наличия таких параметров:

  • Способности сохранять постоянное значение упругости в течение заданного срока.
  • Пластичности.
  • Релаксационной стойкости, благодаря которой деформации не становятся необратимыми.
  • Прочности, то есть способности выдерживать различные виды нагрузок: статические, динамические, ударные.

Каждая из этих характеристик важна, однако при выборе упругой комплектующей для конкретной работы в первую очередь интересуются ее жесткостью как важным показателем того, подойдет ли она для этого дела и насколько долго будет работать.

Что такое жесткость

Жесткость – это характеристика детали, которая показывает, просто или легко будет ее сжать, насколько большую силу нужно для этого приложить. Оказывается, что возникающая под нагрузкой деформация тем больше, чем больше прилагаемая сила (ведь возникающая в противовес ей сила упругости по модулю имеет то же значение). Потому определить степень деформации можно, зная силу упругости (прилагаемое усилие) и наоборот, зная необходимую деформацию, можно вычислить, какое требуется усилие.

Читайте так же:
Выпрямитель напряжения с 220 на 12 вольт

Физические основы понятия жесткость/упругость

Сила, воздействуя на пружину, изменяет ее форму. Например, пружины растяжения/сжатия под влиянием внешнего воздействия укорачиваются или удлиняются. Согласно закону Гука (так называется позволяющая рассчитать коэффициент жесткости пружины формула), сила и деформация между собой пропорциональны в пределах упругости конкретного вещества. В противодействие приложенной извне нагрузке возникает сила, такая же по величине и противоположная по знаку, которая направлена на восстановление исходных размеров детали и ее форму.

Природа этой силы упругости – электромагнитная, возникает она как следствие особого взаимодействии между структурными элементами (молекулами и атомами) материала, из которого изготовлена данная деталь. Таким образом, чем жесткость больше, то есть чем труднее упругую деталь растянуть/сжать, тем больше коэффициент упругости. Этот показатель используется, в частности, при выборе определенного материала для изготовления пружин для использования в различных ситуациях.

Как появился первый вариант формулы

Формула для расчета жесткости пружины, которая получила название закона Гука, была установлена экспериментально. В процессе опытов с подвешенными на упругом элементе грузами разной массы замерялась величина его растяжения. Так и выяснилось, что одна и та же испытуемая деталь под разными нагрузками претерпевает различные деформации. Причем подвешивание определенного количества гирек, одинаковых по массе, показало, что каждая добавленная/снятая гирька увеличивает/уменьшает длину упругого элемента на одинаковую величину.

В итоге этих экспериментов появилась такая формула: kx=mg, где k – некий постоянный для данной пружины коэффициент, x – изменение длины пружины, m – ее масса, а g – ускорение свободного падения (примерное значение – 9,8 м/с²).

Так было открыто свойство жесткости, которое, как и формула для определения коэффициента упругости, находит самое широкое применение в любой отрасли промышленности.

Формула определения жесткости

Изучаемая современными школьниками формула, как найти коэффициент жесткости пружины, представляет собой соотношение силы и величины, показывающей изменение длины пружины в зависимости от величины данного воздействия (или

равной ему по модулю силы упругости). Выглядит эта формула так: F = –kx. Из этой формулы коэффициент жесткости упругого элемента равен отношению силы упругости к изменению его длины. В международной системе единиц физических величин СИ он измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Другой вариант записи формулы: коэффициент Юнга

Деформация растяжения/сжатия в физике также может описываться несколько видоизмененным законом Гука. Формула включает значения относительной деформации (отношения изменения длины к ее начальному значению) и напряжения (отношения силы к площади поперечного сечения детали). Относительная деформация и напряжение по этой формуле пропорциональны, а коэффициент пропорциональности – величина, обратная модулю Юнга.

Модуль Юнга интересен тем, что определяется исключительно свойствами материала, и никак не зависит ни от формы детали, ни от ее размеров.

К примеру, модуль Юнга для ста

Читайте так же:
Домашняя коптильня своими руками видео

ли примерно равен единице с одиннадцатью нулями (единица измерения – Н/кв. м).

Смысл понятия коэффициент жесткости

Коэффициент жесткости – коэффициент пропорциональности из закона Гука. Еще он с полным правом называется коэффициентом упругости.

Фактически он показывает величину силы, которая должна быть приложена к упругому элементу, чтобы изменить его длину на единицу (в используемой системе измерений).

Значение этого параметра зависит от нескольких факторов, которыми характеризуется пружина:

  • Материала, используемого при ее изготовлении.
  • Формы и конструктивных особенностей.
  • Геометрических размеров.

По этому показателю можно сд

елать вывод, насколько изделие устойчиво к воздействию нагрузок, то есть каким будет его сопротивление при приложении внешнего воздействия.

Особенности расчета пружин

Показывающая, как найти жесткость пружины, формула, наверное, одна из наиболее используемых современными конструкторами. Ведь применение эти упругие детали находят практически везде, то есть требуется просчитывать их поведение и выбирать те из них, которые будут идеально справляться с возложенными обязанностями.

Закон Гука весьма упрощенно показывает зависимость деформации упругой детали от прилагаемого усилия, инженерами используются более точные формулы расчета коэффициента жесткости, учитывающие все особенности происходящего процесса.

  • Цилиндрическую витую пружину современная инженерия рассматривает как спираль из проволоки с круглым сечением, а ее деформация под воздействием существующих в системе сил представляется совокупностью элементарных сдвигов.
  • При деформации изгиба в качестве деформации рассматривается прогиб стержня, расположенного концами на опорах.

Особенности расчета жесткости соединений пружин

Важный моментом является расчет нескольких упругих элементов, соединенных последовательно или параллельно.

При параллельном расположении нескольких деталей общая жесткость этой системы определяется простой суммой коэффициентов отдельных комплектующих. Как нетрудно заметить, жесткость системы больше, чем отдельной детали.

При последовательном расположении формула более сложная: величина, обратная суммарной жесткости, равна сумме величин, обратных к жесткости каждой комплектующей. В этом варианте сумма меньше слагаемых.

Используя эти зависимости, легко определиться с правильным выбором упругих комплектующих для конкретного случая.

Решение: Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м делает 20 колебаний за 8 с

1. Какова длина математического маятника, если период его колебания равен 1 с?

2. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м
делает 20 колебаний за 8 с.

3. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг совершает 45 колебаний в минуту. Найти коэффициент жесткости пружины.

4. Ускорение свободного падения на поверхности Луны равно 1,6 м/с 2 . Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период колебания
на Луне был равен 4,9 с?

5. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершал 30 полных колебаний. Определить период колебания маятника и ускорение свободного падения
в том месте, где находится маятник.

6. Груз массой 9,86 кг колеблется на пружине, имея период колебаний 2 с
Чему равна жесткость пружины? Какова частота колебаний груза?

7. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с.
На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

8. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.

Читайте так же:
Лупа для пайки своими руками

1. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а другой 30 колебаний?

2. Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

3. В неподвижном лифте висит маятник, период колебаний которого Т 1 =1 с. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний этого маятника стал равным Т 2 =1,1 с? В каком направлении движется лифт?

4. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать 3/4 длины жгута и подвесить на его оставшуюся часть тот же груз?

5. При увеличении длины математического маятника на 10 см его период колебаний увеличился на 0,1 с. Каким был начальный период колебаний?

6. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте Земли за некоторое время один — 30 колебаний, другой — 36 колебаний. Найдите длины маятников.

7. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса? (плотность меди равна 8900 кг/м3, алюминия — 2700 кг/м 3 )

8. Груз массой 4 кг совершает горизонтальные колебания под действием пружины жесткостью 75 Н/м. При каком смещении груза от положения равновесия модуль его скорости равен 5 м/с, если в положении равновесия модуль его скорости равен 10 м/с?

МАЯТНИКА И ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ.

1. К пружине весов подвешена чашка с гирями. Период вертикальных колебаний чашки 1 с. После того, как на чашку положили добавочный груз, период стал 1,2 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза, если первоначальное удлинение было 4 см.

2. К пружине подвешено тело массой 2 кг. Если к нему присоединить тело массой 300 г, то пружина растянется еще на 2 см. Каков будет период колебаний, если трехсотграммовый довесок снять и предоставить телу массой 2 кг колебаться?

3. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Марс, если масса Марса в 9,3 раза меньше

массы Земли, а радиус Марса в 1,9 раза меньше радиуса Земли?

4. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается?

5. С какой частотой будет колебаться палка массой 2 кг и площадью поперечного сечения 5 см2, плавающая на поверхности воды в вертикальном положении?

6. В воде плавает брусок из дуба размерами 10х20х20 см. Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найти частоту колебаний бруска.

7. С каким ускорением α и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник за 2 мин 30 с совершил 100 колебаний?

8. При какой скорости поезда маятник длиной 11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если расстояние между стыками рельсов 12,5 м?

Читайте так же:
Как выбрать электроплиту для кухни видео

Как найти массу груза на пружине формула

Задача 4.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=1 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=400 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(1 с)^<2>cdot 400 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=10,142399 кг ; approx 10 кг )

Задача 5.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,3 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=350 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до десятых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,3 с)^<2>cdot 350 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,79871 кг ; approx 0,8 кг )

Задача 6.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=150 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до сотых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,07 с)^<2>cdot 150 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,0186366 кг ; approx 0,02 кг )

Задача 7.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а масса груза ( m=0,0186 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 8.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,32 с ) , а масса груза ( m=0,8 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 9.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,6 с ) , а масса груза ( m=4 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Найти частоту колебаний ( nu ) пружинного маятника, если жесткость его пружины (k=400 Н/м ), а масса его груза (m=0,25 кг ) ,
(pi=3,14 )
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Читайте так же:
Какое дерево дает каучук

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом (T_1=0,4 с. ;; ) Масса его груза (m_1=1 кг ). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой (m_2=3 кг. ; ) Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Пружинный маятник

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости \overline{F}со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

\[F=-kx,\]

здесь k— коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Примеры решения задач

ЗаданиеНа какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?
РешениеДвижение пружинного маятника происходит по гармоническому закону:

\[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Начальная фаза колебаний в данном случае равна нулю, поэтому можно записать:

\[x=A\sin \omega t\]

Положение равновесия тело проходит с максимальной скоростью. Найдем закон изменения скорости тела со временем:

\[v=x'=A\omega \cos \omega t,\]

откуда максимальное значение скорости:

\[v_{max}=A\omega \]

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

\[\omega =\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Подставив значение циклической частоты в соотношение для максимальной скорости, получим:

\[v_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}\]

\[A=v_{max}\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Переведем единицы в систему СИ: масса груза m=640г =0,64кг; коэффициент жесткости пружины k=0,4кН/м =400Н/м.

\[A=1\cdot \sqrt{\frac{0,64}{400}}=0,04\ m=4\ cm\ \]

ЗаданиеЕсли к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний маятника уменьшится в 1,5 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
РешениеПериод колебаний пружинного маятника определяется формулой:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Частота колебаний маятника:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \]

Частота колебаний маятника до того, как подвесили гирю:

\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \]

Частота колебаний маятника после того, как подвесили гирю:

\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+m_0}}\ \]

По условию задачи {\nu }_1=1,5{\nu }_2, т.е. можно записать:

\[\sqrt{\frac{k}{m}}=1,5\sqrt{\frac{k}{m+m_0}}\]

Возведем обе части в квадрат и найдем массу первоначального груза:

\[\frac{k}{m}={1,5}^2\cdot \frac{k}{m+m_0};\]

\[{1,5}^2m=m+m_0;\]

\[2,25m-m=m_0;\]

\[1,25m=m_0;\]

\[m=\frac{m_0}{1,25}\ \]

Переведем единицы в систему СИ: масса гири m_0=100г =0,1кг.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector